Dimostrata l'esistenza di un E-gruppo finito di classe di nilpotenza tre

Una nuova dimostrazione matematica stabilisce che un E-gruppo finito può avere classe di nilpotenza tre, risolvendo una questione posta da Caranti. La dimostrazione si concentra su un specifico 3-gruppo di ordine 3^84, introdotto originariamente da Abdollahi, Faghihi e Mohammadi Hassanabadi, e successivamente studiato da Abdollahi, Faghihi, Linton e O'Brien per le sue proprietà di automorfismo. Il gruppo, denotato P, è dimostrato essere un E-gruppo, il che significa che ogni elemento commuta con ciascuna delle sue immagini endomorfe. La dimostrazione coinvolge l'analisi del quoziente V = P/Φ(P) ≅ F_3^9, dove le nove relazioni di potenza di P determinano una mappa lineare q: V → Λ^2 V. Gli autori dimostrano che q non ha alcun sottospazio proprio non nullo U che soddisfi q(U) ⊆ Λ^2 U. Poiché l'immagine indotta da qualsiasi endomorfismo di P su V ha questa proprietà di chiusura, ogni endomorfismo agisce su V in modo invertibile o banale. Il caso invertibile corrisponde al noto caso A-gruppo, mentre nel caso banale, l'immagine giace in Φ(P) = P', e le relazioni di potenza la costringono in Ω_1(P'). Questo risultato conferma che gli E-gruppi finiti possono effettivamente avere classe di nilpotenza tre, rispondendo affermativamente alla domanda di Caranti. L'articolo è disponibile su arXiv con identificativo 2608.07275.