Controesempio alla Congettura di Stanley sul Limite Inferiore per Grado per Poset Differenziali
Un articolo su arXiv confuta la congettura di Richard Stanley del 1988 sul limite inferiore per grado per poset r-differenziali. Per r ≥ 3, gli autori costruiscono un poset r-differenziale infinito P^(r) con |P^(r)_4| = |(Y^r)_4| - ⌊r/3⌋, dove Y^r è la potenza cartesiana r-esima del reticolo di Young. Per r=3, la costruzione sostituisce tredici blocchi di copertura inferiore di rango quattro di Y^3 con dodici blocchi aventi le stesse molteplicità di incidenza di punti e coppie, ottenendo la sequenza iniziale di ranghi 1,3,9,22,50 invece di 1,3,9,22,51. Un'estensione per riflessione dà un poset differenziale infinito. I casi r=1 e r=2 non sono trattati.
Fatti principali
- L'articolo di Stanley del 1988, Problema 6, chiedeva la cardinalità minima di un rango fissato di un poset r-differenziale.
- Stanley suggeriva che il minimo fosse raggiunto da Y^r, la potenza cartesiana r-esima del reticolo di Young.
- L'articolo confuta il limite inferiore universale coefficiente per coefficiente.
- La costruzione funziona per ogni r ≥ 3.
- Per r=3, la sequenza iniziale di ranghi è 1,3,9,22,50 invece di 1,3,9,22,51.
- Tredici blocchi di copertura inferiore di rango quattro di Y^3 sono sostituiti da dodici blocchi.
- L'estensione per riflessione produce un poset differenziale infinito.
- I casi r=1 e r=2 non sono trattati.
Entità
Istituzioni
- arXiv